【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II 練習問題1.7

ファイナンスのための確率解析 2 II シュプリンガー・ジャパン S.E.シュリーブ著、長山いずみ 他訳 練習問題1.6 解答

 

(i) 答え { \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)=0}

[証明] 関数{ \displaystyle f_{n}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2n}}}の最大値はx=0となる{ \displaystyle f_{n}(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}}である。

よって、{ \displaystyle \epsilon}を任意の正の整数とすると、アルキメデスの定理より、{ \displaystyle \dfrac{1}{2\pi\epsilon^{2}} }以上の自然数が存在するので、そのうちの一つを選んでNとする。すると、Nより大きい任意のnに対して、

{ \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2N\pi}} \leq \epsilon }

 

が成り立つ。

{ \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}} }は関数{ \displaystyle f_{n}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2n}}}の最大値であるから、

{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)=0} □

 

{i}答え  { \displaystyle \lim_{n\to \infty}\int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)=1}

[証明] { \displaystyle \epsilon}を任意の正の整数とすると、

{ \displaystyle \left| \int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)-1 \right| }

={ \displaystyle \left| 1-1\right| \leq \epsilon }

よって、 { \displaystyle \lim_{n\to \infty}\int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)=1} □

 

(iii)単調収束定理では、関数列の単調増加性が前提として必要であるが、{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)}は単調増加性はなく、定理とは矛盾しない。

 

【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II 練習問題1.6 解答

ファイナンスのための確率解析 2 II シュプリンガー・ジャパン S.E.シュリーブ著、長山いずみ 他訳 練習問題1.6 解答

 

[証明]

(i)

{ \displaystyle \mathbb{E}[\phi({\bf X})]}

={ \displaystyle \mathbb{E}[e^{u{\bf X}}]}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} e^{ux}\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\dfrac{2\sigma^2ux-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2-2(\sigma^2u+\mu)x+\mu^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2-(\sigma^4 u^2+2\sigma^2 u \mu)}{2\sigma^2}}dx}

 

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2}{2\sigma^2}}e^{\dfrac{(\sigma^4 u^2+2\sigma^2 u \mu)}{2\sigma^2}}dx}

 ={ \displaystyle e^{\dfrac{1}{2}\sigma^2 u^2+u \mu} \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2}{2\sigma^2}}dx}

 ={ \displaystyle e^{\dfrac{1}{2}\sigma^2 u^2+u \mu}}

[Q.E.D

 

(ii)

問題文の仮定より、{ \displaystyle \phi({\bf X})}は凸関数であるため、任意のxに対して、以下2つの条件を満たす線形関数{ \displaystyle g(x)=ax+b}が存在する。

(1){ \displaystyle \exists x_{0},\phi(x_{0})=g(x_{0})}

(2){ \displaystyle \forall x,\phi(x) \geq g(x)} 

 

よって、

 

{ \displaystyle \mathbb{E}[\phi({\bf X})]} 

{ \displaystyle \geq \mathbb{E}[g({\bf X})]} 

={ \displaystyle \mathbb{E}[a({\bf X})+b] }

={ \displaystyle a(\mathbb{E}[{\bf X}])+b}

={ \displaystyle g(\mathbb{E}[{\bf X}])}

={ \displaystyle \phi(\mathbb{E}[{\bf X}])} 

 

[Q.E.D]

【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II 練習問題 1.5 解答

ファイナンスのための確率解析 2 II シュプリンガー・ジャパン S.E.シュリーブ著、長山いずみ 他訳 練習問題1.5

 

[証明]

 { \displaystyle \int_\Omega\int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dxd\mathbb{P}(\omega)}を\phiとしたとき、以下の2つを示せばよい。

 

(i) { \displaystyle \phi \Leftrightarrow \mathbb{E}{\bf X}}

(ii){ \displaystyle \phi  \Leftrightarrow \int_0^\infty (1-F(x))dx}

 

(i)の証明

‘※{ \displaystyle \mathbb{E}{\bf X}= \int_\Omega X(w)d\mathbb{P}(\omega)}なので、これに{\displaystyle \phi}を変更するのがゴール。

まず、{ \displaystyle \int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dx} について考える。

{ \displaystyle \omega}を固定して考えれば、{ \displaystyle \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)} が1になるのは、定義関数の定義より、{ \displaystyle x \in {\bf X}(\omega)} を満たすときであるで、

 

{ \displaystyle \phi = \int_\Omega\int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dxd\mathbb{P}(\omega)}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※上の考察より

{ \displaystyle \phi = \int_\Omega {\bf X}(\omega)d\mathbb{P}(\omega)}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※期待値の定義より

{ \displaystyle \phi = \mathbb{E}{\bf X}}

 

(ii)の証明

{ \displaystyle {\bf X}}は非負の確率変数なので、積分の順序の変更が可能で、

 

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty\int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)dx}

 

ここで、{ \displaystyle \int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)}について考える。

 

xを固定して考えれば、{ \displaystyle \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)} が1になるのは、{ \displaystyle {\bf X}(\omega)\geq x} を満たすときであるで(*1)、

 

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty\int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)dx}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※上の考察より

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty (1-F(x)) dx}

 

(i)と(ii)より、{ \displaystyle \mathbb{E}{\bf X}=\int_0^\infty (1-F(x))dx}

 

 

[Q.E.D]

(*1) 例えばx=0と考えれば任意の{ \displaystyle \omega}に対して、必ず定義関数は1を返す。

 

 

証券アナリスト勉強①

証券アナリストの勉強①

あと12日のところで職業倫理を終了。この問題は平日の通勤中で回す予定。

 

つぎは証券分析に着手!

SQL初心者!【書籍】CD付 SQL ゼロからはじめるデータベース操作 (プログラミング学習シリーズ)

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3.ゼロからウィンドウ関数まで体系的に解説されている。

4. 章末の練習問題の解答ももれなくすべて掲載されている。

 

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章末の練習問題が自分でアウトプットできるチャンスであるのですが、練習問題の解答が書いてある本は少ないんですよね。。でもこの本は書いてあるので嬉しいです。

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