【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II　練習問題　１．５　解答

ファイナンスのための確率解析 2 II　シュプリンガー・ジャパン　S.E.シュリーブ著、長山いずみ　他訳　練習問題１．５

 

[証明]

 { \displaystyle \int_\Omega\int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dxd\mathbb{P}(\omega)}を\phiとしたとき、以下の2つを示せばよい。

 

(i) { \displaystyle \phi \Leftrightarrow \mathbb{E}{\bf X}}

(ii){ \displaystyle \phi  \Leftrightarrow \int_0^\infty (1-F(x))dx}

 

(i)の証明

‘※{ \displaystyle \mathbb{E}{\bf X}= \int_\Omega X(w)d\mathbb{P}(\omega)}なので、これに{\displaystyle \phi}を変更するのがゴール。

まず、{ \displaystyle \int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dx} について考える。

{ \displaystyle \omega}を固定して考えれば、{ \displaystyle \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)} が1になるのは、定義関数の定義より、{ \displaystyle x \in {\bf X}(\omega)} を満たすときであるで、

 

{ \displaystyle \phi = \int_\Omega\int_0^\infty \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)dxd\mathbb{P}(\omega)}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※上の考察より

{ \displaystyle \phi = \int_\Omega {\bf X}(\omega)d\mathbb{P}(\omega)}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※期待値の定義より

{ \displaystyle \phi = \mathbb{E}{\bf X}}

 

(ii)の証明

{ \displaystyle {\bf X}}は非負の確率変数なので、積分の順序の変更が可能で、

 

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty\int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)dx}

 

ここで、{ \displaystyle \int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)}について考える。

 

xを固定して考えれば、{ \displaystyle \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)} が1になるのは、{ \displaystyle {\bf X}(\omega)\geq x} を満たすときであるで(*1)、

 

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty\int_\Omega \mathbb{I}_{[0,{\bf X}(\omega))} (x)d\mathbb{P}(\omega)dx}

{ \displaystyle \Leftrightarrow}※上の考察より

{ \displaystyle \phi = \int_0^\infty (1-F(x)) dx}

 

(i)と(ii)より、{ \displaystyle \mathbb{E}{\bf X}=\int_0^\infty (1-F(x))dx}

 

 

[Q.E.D]

(*1) 例えばx=0と考えれば任意の{ \displaystyle \omega}に対して、必ず定義関数は1を返す。