【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II　練習問題１．6　解答

ファイナンスのための確率解析 2 II　シュプリンガー・ジャパン　S.E.シュリーブ著、長山いずみ　他訳　練習問題1.6 解答

 

[証明]

(i)

{ \displaystyle \mathbb{E}[\phi({\bf X})]}

={ \displaystyle \mathbb{E}[e^{u{\bf X}}]}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} e^{ux}\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\dfrac{2\sigma^2ux-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2-2(\sigma^2u+\mu)x+\mu^2}{2\sigma^2}}dx}

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2-(\sigma^4 u^2+2\sigma^2 u \mu)}{2\sigma^2}}dx}

 

={ \displaystyle \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2}{2\sigma^2}}e^{\dfrac{(\sigma^4 u^2+2\sigma^2 u \mu)}{2\sigma^2}}dx}

 ={ \displaystyle e^{\dfrac{1}{2}\sigma^2 u^2+u \mu} \int_{{\bf R}} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{(x-(\sigma^2 u+\mu)^2)^2}{2\sigma^2}}dx}

 ={ \displaystyle e^{\dfrac{1}{2}\sigma^2 u^2+u \mu}}

[Q.E.D] 

 

(ii)

問題文の仮定より、{ \displaystyle \phi({\bf X})}は凸関数であるため、任意のxに対して、以下２つの条件を満たす線形関数{ \displaystyle g(x)=ax+b}が存在する。

(1){ \displaystyle \exists x_{0},\phi(x_{0})=g(x_{0})}

(2){ \displaystyle \forall x,\phi(x) \geq g(x)} 

 

よって、

 

{ \displaystyle \mathbb{E}[\phi({\bf X})]} 

{ \displaystyle \geq \mathbb{E}[g({\bf X})]} 

={ \displaystyle \mathbb{E}[a({\bf X})+b] }

={ \displaystyle a(\mathbb{E}[{\bf X}])+b}

={ \displaystyle g(\mathbb{E}[{\bf X}])}

={ \displaystyle \phi(\mathbb{E}[{\bf X}])} 

 

[Q.E.D]