【解説/解答】ファイナンスのための確率解析 2 II　練習問題１．7

ファイナンスのための確率解析 2 II　シュプリンガー・ジャパン　S.E.シュリーブ著、長山いずみ　他訳　練習問題1.6 解答

 

(i) 答え　{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)=0}

[証明] 関数{ \displaystyle f_{n}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2n}}}の最大値はx=0となる{ \displaystyle f_{n}(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}}である。

よって、{ \displaystyle \epsilon}を任意の正の整数とすると、アルキメデスの定理より、{ \displaystyle \dfrac{1}{2\pi\epsilon^{2}} }以上の自然数が存在するので、そのうちの一つを選んでNとする。すると、Nより大きい任意のnに対して、

{ \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2N\pi}} \leq \epsilon }

 

が成り立つ。

{ \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}} }は関数{ \displaystyle f_{n}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2n\pi}}e^{-\dfrac{x^2}{2n}}}の最大値であるから、

{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)=0}　□

 

{i}答え  { \displaystyle \lim_{n\to \infty}\int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)=1}

[証明] { \displaystyle \epsilon}を任意の正の整数とすると、

{ \displaystyle \left| \int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)-1 \right| }

={ \displaystyle \left| 1-1\right| \leq \epsilon }

よって、 { \displaystyle \lim_{n\to \infty}\int^{\infty}_{-\infty} f_{n}(x)=1}　□

 

(iii)単調収束定理では、関数列の単調増加性が前提として必要であるが、{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} f_{n}(x)}は単調増加性はなく、定理とは矛盾しない。